Diophantine Undecidability of Holomorphy Rings of Function Fields of Characteristic 0

— Let K be a one-variable function field over a field of constants of characteristic 0. Let R be a holomorphy subring of K, not equal to K. We prove the following undecidability results for R: if K is recursive, then Hilbert’s Tenth Problem is undecidable in R. In general, there exist x1, . . . , xn ∈ R such that there is no algorithm to tell whether a polynomial equation with coefficients in Q(x1, . . . , xn) has solutions in R. Résumé. — Soit K un corps de fonctions d’une variable sur un corps de caractéristique nulle. Soit R un anneau d’holomorphie de K, distinct de K. Si K est récursif, nous démontrons que le dixième problème de Hilbert sur R est indécidable. En général, il existe x1, . . . , xn dans R tels qu’il n’y ait pas d’algorithme décidant si une équation polynomiale à coefficients dans Q(x1, . . . , xn) a une solution dans R.